Question

如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．

下列结论：
①△ABG≌△AFG；  ②BG＝GC；  ③AG∥CF；  ④S_△FGC＝3．
其中正确结论的个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
对折可得：DE="EF" ，AF="AD" ，AF⊥EF ， △ADE≌△AFE
①在Rt△ABG与Rt△AFG中，AB="AF" ，AG=AG，所以，Rt△ABG≌Rt△AFG①正确。②Rt△ABG≌Rt△AFG可得：BG="FG" ，∠AGB=∠AGF设BG="x" 则，CG="BC-BG" = 6-xGE=GF+EF=BG+DE=x+2在Rt△ECG中，有CG^2+CE^2="EG^2CG=6-x" ， CE="4" ，EG=x+2可得：(6-x)^2 + 4^2 = (x+2)^2解得：x=3所以，BG=GF=CG=3  结论②正确。③因为，CG=GF所以，∠CFG = ∠FCG因为，∠BGF=∠CFG+∠FCG（三角形的外角等于不相邻的两个内角和）又∠BGF=∠AGB+∠AGF可得：∠CFG+∠FCG = ∠AGB+∠AGF因为，∠AGB=∠AGF，∠CFG = ∠FCG所以，2∠AGB=2∠FCG即，∠AGB=∠FCG所以，AG//CF结论③正确。
④∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；∴BG="FG∵EF=DE=" CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3．所以BG=3=6-3=GC过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴FH/GC="EF/EG" ，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴FH/GC="EF/EG=2/5" ，∴S△FCG="S△GCE-S△FEC=" 1/2×3×4-1/2 ×4×（2/5 ×3）=18/5结论④错误。故选C