Question

【题目】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D=∠B即∠BPD=∠B﹣∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AB∥CD，

∴∠B=∠COP，

∵∠COP=∠BPD+∠D，

∴∠B=∠BPD+∠D，

即：∠BPD=∠B﹣∠D，

②不成立，

结论：∠BPD=∠B+∠D，

理由：如图b，

过点P作PG∥AB，

∴∠B=∠BPG，

∵PG∥AB，CD∥AB，

∴PG∥CD，

∴∠DPG=∠D，

∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠D

（2）解：结论：∠DPQ=∠B+∠BQD+∠D，

理由：如图c，

连接QP并延长，

∵∠BP∠G是△BPQ的外角，

∴∠BPG=∠B+∠BQP，

同理：∠DPG=∠D+∠DQP，

∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠BQP+∠DQP+∠D=∠B+∠BQD+∠D

（3）解：如图d，

∵∠DHM是△BFH的外角，

∴∠DHM=∠B+∠F，

同理：∠CMH=∠A+∠E，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DHM+∠CMH+∠C+∠D=360°

【解析】（1）①利用平行线的性质和三角形的外角即可；②利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可．
【考点精析】掌握平行线的性质和旋转的性质是解答本题的根本，需要知道两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．