Question

【题目】如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以 个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），

当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），

将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得 ，解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= ，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即： ，解得：t=1；

如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA= ，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， ，即： ，解得：t= ．

综上所述，当t=1或t= 时，△PQA是直角三角形；

（3）

解：如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

将t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得点F的坐标为（2，3）．

（4）

解：如图④所示：

设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t） ．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴点M的坐标为（1，4）．

∴MB= = ．

当△BOP∽△QBM时， 即： ，整理得：t2﹣3t+3=0，

△=32﹣4×1×3＜0，无解：

当△BOP∽△MBQ时， 即： ，解得t= ．

∴当t= 时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．

【解析】（1）先由直线AB的解析式为y=﹣x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA= ，PA=3﹣t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可；（3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t2 ， EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标；（4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t） ，然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值．
【考点精析】利用平行四边形的性质和相似三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．