Question

如图，在矩形ABCD中，点M、N在线段AD上，∠MBC=∠NCB=60°，点E、F分别为线段CN、BC上的点，连接EF并延长，交MB的延长线于点G，EF=FG．
（1）点K为线BM的中点，若线段AK=2，MN=3，求矩形ABCD的面积；
（2）求证：MB=NE+BG．

Answer 1

（1）解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，
在Rt△ABM中，∵点K为斜边BM中点，
∴BM=2AK=4，
∵∠MBC=60°，
∴∠ABM=30°，
∴AM=BM=2，AB===2，
在△CDN中，∵∠NCB=60°，
∴∠NCD=30°，
∴DN===2，
∴AD=2+3+2=7，
∴矩形ABCD的面积是：2×7=14；

（2）证明：过点G作GH∥NC交CB的延长于点H，
∵在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴BM=CN，
∵GH∥NC，
∴∠H=∠ECF=60°，
∵在△FHG和△FCE中，
，
∴△FHG≌△FCE（ASA），
∴HG=CE，
在△BHG中，∠HBG=∠MBC=60°=∠H，
∴△BHG是等边三角形，
∴BG=HG=EC，
∴BM=CN=NE+CE=NE+BG
分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BM，再利用勾股定理列式求出AB的长，然后利用∠NCD的正切值求出DN的长，再求出AD，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解；
（2）过点G作GH∥NC交CB的延长于点H，先利用“边角边”证明△ABM和△DCN全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=CN，再根据两直线平行，内错角相等求出∠H=∠ECF=60°，然后利用“角边角”证明△FHG和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得HG=CE，再求出△BHG是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BG=HG，从而得证．
点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，综合题，但难度不大，仔细分析图形并熟记各性质是解题的关键．