Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，F为CD延长线上一点，AF交⊙O于点G．
求证：AC²=AG•AF．

Answer 1

证明：连接AD、CG，如图
∵直径AB⊥CD，
∴弧AD=弧AC，
∴∠ADC=∠ACF，
∵∠AGC=∠ADC，
∴∠ACF=∠AGC
而∠FAC=∠CAG，
∴△ACG∽△AFC，
∴，
∴AC²=AG•AF．
分析：连接CG，由⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得弧AD=弧AC，则∠ADC=∠ACF，根据圆周角定理得∠AGC=∠ADC，于是有∠ACF=∠AGC 根据相似三角形的判定易得△ACG∽△AFC，，即可得到结论．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质．