Question

在平面直角坐标xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．

（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　　　　　　；

（2）连接AC，BC，在点C在⊙O运动过程中，△ABC的面积是否存在最大值？并求出△ABC的最大值；

（3）直接写出在（2）的条件下D点的坐标．

Answer 1

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°，从而得出答案；

（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；

（3）由（2）可知当△ABC的面积最大值时，则点C在第三象限，因为OD⊥OC，所以点D在第二象限，过点D作DH⊥OB，DM⊥AO，分别求出DH，DM的长即可求出点D的坐标．

【解答】解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°，

当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°，

∴∠OBA=45°或135°；

故答案为：45°或135°；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，

如图：此时C点到AB的距离最大值为CE的长，

∵△OAB为等腰直角三角形，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+OE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=（3+3）×6=9+18，

当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．

（3）过点D作DH⊥OB，DM⊥AO，

由（2）可知点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置，

∴∠COM=45°，

∵OD⊥OC，

∴∠DOM=45°，

∵OD=3，

∴DM=，DH=，

∴点D坐标是（﹣，）．

【点评】本题考查了圆的综合题，用到的知识点是平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理进行几何计算是本题的关键．