Question

3．已知关于x的方程x²+2（k-2）x+k²+4=0
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这方程的两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根，利用根的判别式判断出k的取值范围；
（2）设出方程的两个实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系建立起关系式，再根据这两个实数根的平方和比两根的积大21可列出关于k的方程，求出k的值．

解答 解：（1）∵方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根，
∴△=4（k-2）²-4（k²+4）≥0，
∴k≤0；
（2）设方程的两根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2）…①，x₁•x₂=k²+4…②，
∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x₁²+x₂²=x₁•x₂+21，
即（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=21，
把①、②代入得，4（k-2）²-3（k²+4）=21，
∴k=17（舍去）或k=-1，
∴k=-1．

点评 此题考查的是一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解答此题的关键是先判断出k的取值范围，再根据根与系数的关系解答．