Question

8．如图，二次函数y=ax²-（4a-0.5）x（a＞0）的图象经过点A（4，m），若点P是这个二次函数图象上的一个动点，当△POA为等腰直角三角形时，a的值是$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 先求得A（4，2），然后分三种情况讨论求得即可．

解答 解：∵二次函数y=ax²-（4a-0.5）x（a＞0）的图象经过点A（4，m），
∴m=16x-（4a-0.5）×4=2，
∴A（4，2），
∴OA的中点C的坐标为（2，1），OA=2$\sqrt{5}$，
①当∠APO=90°时，
过C点作PC⊥OA交抛物线于P，
∵△POA为等腰直角三角形，
∴PC=$\sqrt{5}$，
设直线OA的解析式为y=kx，代入A（4，2）得，2=4k，
解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴设直线PC的解析式为y=-2x+n，
代入C（2，1）得，1=-2×2+n，
解得n=5，
∴设直线PC的解析式为y=-2x+5，
设P的坐标为（b，-2b+5），
∴PC=$\sqrt{（b-2）^{2}+（-2b+5-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得b=1或b=3，
∴P（1，3）或（3，-1），
∵点P是这个二次函数图象上的一个动点，
∴当P（1，3）时，3=a-4a+0.5，
解得a=-$\frac{5}{6}$（不合题意，舍去），
当P（3，-1）时，-1=9a-12a+1.5，
解得a=$\frac{5}{6}$，
②当∠AOP=90°时，
∵直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴直线OP的解析式为y=-2x，
∵△POA为等腰直角三角形，OP=2$\sqrt{5}$，
∴设P的坐标为（b，-2b），
∴PO=$\sqrt{{b}^{2}+（-2b）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=2或b=-2，
∴P（2，-4）或（-2，4），
∵点P是这个二次函数图象上的一个动点，
∴当P（2，-4）时，-4=4a-8a+1，
解得a=$\frac{5}{4}$
当P（-2，4）时，4=4a+8a-1，
解得a=$\frac{5}{12}$；
③当∠OAP=90°时，
∵直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴直线PA的解析式为y=-2x+n，
代入A（4，2）得，2=-8+n，
解得n=10，
∴直线PA的解析式为y=-2x+10，
∴设P的坐标为（b，-2b+10），
∴PA=$\sqrt{（b-4）^{2}+（-2b+10-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=2或b=6，
∴P（2，6）或（6，-2），
∵点P是这个二次函数图象上的一个动点，
∴当P（2，6）时，6=4a-8a+1，
解得a=-$\frac{5}{4}$（舍去）
当P（6，-2）时，-2=36a-24a+3，
解得a=-$\frac{5}{12}$（舍去）．
综上，当△POA为等腰直角三角形时，a的值是$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{12}$．
故答案为$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．