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【题目】如图,抛物线x轴交于AB两点,与y轴交于C点,且A10).

1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

2)判断ABC的形状,证明你的结论.

3M是对称轴上的一个动点,当ACM的周长最小时,求点M的坐标及ACM的周长.

【答案】1)抛物线的解析式为yx2-x2顶点D的坐标为

2ABC是直角三角形,证明见解析;.

3ACM的最小周长为,求点M的坐标为.

【解析】试题分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式,根据配方法,可得顶点坐标;

2)根据勾股定理的逆定理,可得答案;

3)根据轴对称的性质,两点之间线段最短,可得M点是对称轴与BC的交点,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.

试题解析:(1∵点A-10)在抛物线y=x2+bx-2上,

×-12+b×-1-2=0

解得b=-

∴抛物线的解析式为y=x2-x-2

y=x2-x-2=x-2-

∴顶点D的坐标为(-);

2ABC是直角三角形.理由如下:

x=0时,y=-2

C0-2),则OC=2

y=0时, x2-x-2=0

x1=-1x2=4,则B40),

OA=1OB=4

AB=5

AB2=25AC2=OA2+OC2=5BC2=OC2+OB2=20

AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形;

3)由题意AB两点关于对称轴对称,故直线BC与对称轴的交点即为点M

B40),C0-2

设直线BCy=kx-2

4k-2=0

k=

所以直线BCy=x-2

x=时,y=×-2=-

所以M-).

所以ΔACM最小周长是:AC+AM+MC=.

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