Question

已知抛物线y＝－(x＋2)²＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OB＜OC)是方程x²－10x＋16＝0的两个根．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；

(3)连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，过E作EF∥AC交BC于F，连CE，设AE＝m，△CEF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

(4)在(3)的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)方程 　　∴OB＝2，OC＝8 　　∴B(2，0)　C(0，8) 　　∵函数 　　∴A(，0) 　　即A(，0)　B(2，0)　C(0，8)　3分 　　(2)B点在上 　　∴ 　　∴　5分 　　函数解析式为 　　顶点坐标为，大致图象及顶点坐标如下图　7分 　　(3)∵AE＝m，AB＝8，∴ 　　∵OC＝8，OA＝6，据勾股定理得 　　∵AC∥EF，∴　即，　10分 　　过F作FG⊥AB于G 　　∵ 　　而，∴　12分 　　∵S＝S△CEB－S△FEB＝ 　　∴S与m的函数关系式为，m的取值为　14分 　　(4)∵中，S有最大值　16分 　　，当m＝4时，S有最大值为8　18分 　　E点坐标为：E(－2，0) 　　∵B(2，0)，E(－2，0) 　　∴CE＝CB　∴△BCE为等腰三角形　20分