Question

（2002•上海模拟）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，求

AD

AB

的值．

Answer 1

分析：首先过点C作CE⊥BA交BA延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，由AB=3，AC=2，∠BAC=120°，易求得EC的长，继而求得△ABC的面积，又由AD是∠BAC的角平分线，由角平分线的性质，可得DF=DG，继而求得DF的长，然后求得AD的长，继而求得答案．

解答：解：过点C作CE⊥BA交BA延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，
∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，
∴∠EAC=60°，
∴AE=AC•cos∠EAC=2×

1

2

=1，EC=AC•sin∠EAC=2×

3

2

=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•EC=

1

2

×3×

3

=

3 3

2

，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DF=DG，∠FAD=

1

2

∠BAC=60°，
∴S_△ABC=

1

2

AB•DF+

1

2

AC•DG=

1

2

DF（AB+AC）=

1

2

×DF×（2+3）=

3 3

2

，
∴DF=

3 3

5

，
∴在Rt△ADF中，AD=

DF

sin∠FAD

=

3 3 5

3 2

=

6

5

，
∴

AD

AB

=

6 5

3

=

2

5

．

点评：此题考查了三角形的面积问题、直角三角形的性质、角平分线的性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．