Question

边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点．
（Ⅰ）证明：AE+AF=CE+CF；
（Ⅱ）①求AE+CE的最小值；②求AE+BE+CE的最小值；
（Ⅲ）若∠EAF=45°，DF=2BE，求四边形AECF的面积．

Answer 1

（I）证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
同理：AF=CF．
∴AE+AF=CE+CF．

（Ⅱ）解：①当A，C，E在同一直线上是最短的．
∴AC=AE+EC=．
②当B点和E点重合时是最短的．
AE+BE+CE=AB+BC=2．

（Ⅲ）解：连接AC交BD于O，设DF=2x，BE=x，
由勾股定理得：AO==BO=OD，BD=，
即EF=BD-BE-DF=-3x，DE=BD-BE=-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°=∠EAF，
∵∠AEF=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE²=DE•EF=（-x）•（-3x），
在直角三角形AEO中，由勾股定理得：AE²=AO²+EO²=+，
∴（-x）（-3x）=+，
解得：x=＞（舍去），x=，
∴EF=-3x=
∴四边形AECF的面积是EF×AC=××=．
分析：（I）根据全等三角形判定和正方形性质求出△ABE≌△CBE，推出AF=CF，AE=CE即可；
（II）根据两点之间线段最短，求出点E的位置即可；
（III）连接AC交BD于O，设DF=2x，BE=x，由正方形性质和勾股定理求出AO，OB，AC，BD的长，证△AEF∽△DEA，求出AE的平方的值，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出AE的平方的值，得出方程，求出x的值，根据面积公式求出即可．
点评：本题综合运用了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，轴对称和最短问题等知识点，此题有一点难度，对学生有较高的要求，第三问得出关于x的方程是解此题的难点．