Question

(10分)

问题提出

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．

问题解决

如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．

解：由图可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

类别应用

(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a、b是正数，且a≠b)，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．

 (2)试比较图2和图3中两个矩形周长M₁、N₁的大小(b＞c)．

 

 

 

 

 

 

 

联系拓广

小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示(其中b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．

Answer 1

【答案】

解：类比应用

（1）

∵是正整数且

∴， ∴

即效力的平均价格比小颖的高。

（2）由图知，

∵，∴，即，∴。

∴第一个矩形的周长大于第二个矩形的周长。

联系拓广

设图⑤的捆绑绳长为，则

设图⑥的捆绑绳长为，则

设图⑦的捆绑绳长为，则

∴

∴（由式子观察得出，也可得分。）

∵，∴，即，∴

∴所以第三种捆绑方法用绳最长，第二种最短。

【解析】略