Question

在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，3），作出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁关于直线l的对称图形△A₂B₂C₂，并写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标；
（2）在直线l上是否存在一点P，使其到A₂、C₂两点的距离和最小？如果存在，请求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）从直角坐标系中先找到三点的坐标，然后再向y轴引垂线并延长相同长度，得到对应点，顺次连接得到△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁的各点向y轴引垂线并延长相同长度，得到对应点，顺次连接得到△A₂B₂C₂；
（2）有，根据两点间，直线最短，可利用轴对称图形的性质找到此点．

解答：解：（1）作图，A₂（4，0）B₂（5，0）C₂（5，3）；（4分）
（2）连接A₁C₂，交直线l于点P，则点P即为所求
满足PA₂+PC₂的和最小．（5分）
设直线A₁C₂的解析式为：
y=kx+b
则由题意得：

2k+b=0 5k+b=3

．
解得

k=1 b=-2

．
∴直线A₁C₂解析式为y=x-2（7分）
当x=3时，y=1
∴点P坐标（3，1）．（8分）

点评：本题综合考查了直角坐标系和轴对称图形的性质．学生在做题时要注意知识的综合运用．