Question

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

Answer 1

解：设边AB=a，AC=b
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两根
∴a+b=2k+3，a•b=k²+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5
∴a²+b²=5²，
即（a+b）²-2ab=5²，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0
∴k₁=-5或k₂=2
当k=-5时，方程为：x²+7x+12=0
解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去）
当k=2时，方程为：x²-7x+12=0
解得：x₁=3，x₂=4
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
分析：△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即AB，AC的平方和是25，则一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根的平方和是25，根据韦达定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，检查k是哪个值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形则可．
点评：此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及勾股定理的应用．求出k的值后，一定要代入原方程进行检验．