Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据已知得到B（0，c），A（-c，0），把A的坐标代入解析式即可求出答案；
（2）由平行四边形OABC得到BC=AO=c，点B的坐标为（0，c），根据平行四边形的性质得到C的坐标，把C的坐标代入解析式和b+c=1组成方程组，即可求出b、c的值，即得到抛物线的解析式；
（3）过点P作PM⊥y轴，PN⊥BC，垂足分别为M、N，根据角平分线的性质得到PM=PN，设点P的坐标为(x，-x2+

1

2

x+

1

2

)，代入解析式即可求出P的坐标．

解答：解：（1）由题意得：点B的坐标为（0，c），其中c＞0，OB=c，
∵OA=OB，点A在x轴的负半轴上，
∴点A的坐标为（-c，0），
∵点A在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴0=-c²-bc+c，
∵c＞0，
∴两边都除以c得：0=-c-b+1，
b+c=1，
答：b+c的值是1．

（2）解：∵四边形OABC是平行四边形
∴BC=AO=c，
又∵BC∥x轴，点B的坐标为（0，c）
∴点C的坐标为（c，c），
又点C在抛物线上，
∴c=-c²+bc+c
∴b-c=0或c=0（舍去），
又由（1）知：b+c=1，
∴b=

1

2

，c=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=-x2+

1

2

x+

1

2

，
答：抛物线的解析式是y=-x²+

1

2

x+

1

2

．

（3）解：过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，PM交BC的延长线于H，

∵由（2）知BC∥x轴，PM⊥x轴，
∴PH⊥BC，
∵BP平分∠OBC，PN⊥y轴，PH⊥BC，
∴PN=PH，
设点P的坐标为(x，-x2+

1

2

x+

1

2

)，
∴PN=x，ON=PM=-（-x²+

1

2

x+

1

2

）
∴BN=BO+ON=

1

2

-（-x²+

1

2

x+

1

2

），PN=x，
∴BN=PN，即

1

2

-(-x2+

1

2

x+

1

2

)=x，
解得：x=

3

2

或x=0，
当x=

3

2

时，-x²+

1

2

x+

1

2

=-1，
∴点P的坐标为（1.5，-1），
当x=0时，-x²+

1

2

x+

1

2

=

1

2

，、
∴点P的坐标为（0，

1

2

），此时P和B重合，舍去，
答：点P的坐标是（1.5，-1）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数上点的坐标特征，平行四边形的性质，角平分线的性质，解一元二次方程等知识点，能运用题中隐含的条件求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度，但题型较好．