Question

如果函数y=a（x-1）²+c与函数y=x²+2bx+b²-5的顶点相同，且其中一个函数经过点（2，7），求这两个函数的解析式．

Answer 1

解：∵函数y=a（x-1）²+c的顶点是（1，c），函数y=x²+2bx+b²-5=（x+b）²-5的顶点是（-b，-5），
∴1=-b，即b=-1，c=-5；
∴函数y=x²+2bx+b²-5的解析式为：y=x²-2x-4；
又∵其中一个函数经过点（2，7），
∴函数y=a（x-1）²+c经过点（2，7），
∴7=a（2-1）²-5，解得，a=12；
故函数y=a（x-1）²+c的解析式是：y=12（x-1）²-5．
分析：先求出函数y=a（x-1）²+c与函数y=x²+2bx+b²-5的顶点，然后根据题意求得b、c的值；再由已知条件“其中一个函数经过点（2，7）”，利用待定系数法求得函数的解析式．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在求函数y=x²+2bx+b²-5的顶点时，先将函数关系式转化为顶点式方程，然后求其顶点．这样减免了利用顶点坐标公式求解的繁琐过程．