Question

如图，矩形框OABC四边都具有反射光线的能力．点B的坐标为（4，2）．由点B射出的一束光线BD交OA边于点D．记点D的坐标为（a，0），光线BD经OA边反射或经OA边、OC边连续反射，与BC边围成的封闭图形的面积记为S，
（1）若点D为OA的中点，求S的值．
（2）求S关于a的函数解析式．
（3）若S=

10

3

，求光线在矩形OABC内的周长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：（1）作出入射光线BD，反射光线DE及法线DF，通过证明△ODE≌△ADB，根据全等三角形的性质就可以求出S的值；
（2）如图2，如图3，当0＜a＜2和2≤a＜4时分两种情况进行讨论求得S关于a的解析式；
（3）将S=

10

3

分别代入（2）中所求的S关于a的函数解析式，求出符合题意的a值，再运用勾股定理即可求出光线在矩形OABC内的周长．

解答：解：（1）作出入射光线BD，反射光线DE及法线DF，
由光的反射定律，得∠FDE=∠FDB，
又∵∠FDO=∠FDA=90°，
∴∠ODE=∠ADB，
∵点D为OA的中点，
∴OD=AD，
∵四边形OABC是矩形，
∴OC=AB，∠COD=∠BAD=90°．
∵在△ODE和△ADB中，

∠ODE=∠ADB OD=AD ∠DOE=∠DAB

，
∴△ODE≌△ADB（ASA），
∴OE=AB，
∴OE=OC，
∴点E点C重合，
∴S=

4×2

2

=4；

（2）如图2，当2≤a＜4时，作DF⊥BC于F，
则∠DFE=∠DFB=90°．
∵在△DFE和△DFB中，

∠EDF=∠BDF DF=DF ∠DFE=∠DFB

，
∴△DFE≌△DFB（ASA），
∴S_△DEF=S_△DBF．
∵DA=4-a，
∴BE=2BF=2DA=2（4-a），
∴S=

1

2

×BE×DF=

2(4-a)

2

×2=8-2a；
如图3，当0＜a＜2时，
∵∠EDO=∠BDA，∠DOE=∠DAB=90°，
∴△DOE∽△DAB，
∴

DO

DA

=

OE

AB

，
∴

a

4-a

=

OE

2

，
∴OE=

2a

4-a

，
∴CE=2-

2a

4-a

=

8-4a

4-a

．
∵∠CEF=∠OED，∠ECF=∠EOD=90°，
∴△ECF∽△EOD，
∴

CE

OE

=

CF

OD

，
∴

8-4a 4-a

2a 4-a

=

CF

a

，
∴CF=4-2a．
∴S=S_矩形OABC-S_△ABD-S_△OED-S_△CEF
=8-

2(4-a)

2

-

a• 2a 4-a

2

-

8-4a 4-a (4-2a)

2

=8-（4-a）-

a2

4-a

-

16-16a+4a2

4-a

=4+a-

16-16a+5a2

4-a

，
即S=4+a-

16-16a+5a2

4-a

；

（3）当S=

10

3

时，
则8-2a=

10

3

，
解得a=

7

3

，
此时光线的周长为：BD+DE=2BD=

4+ 25 9

×2=

2 61

3

；
4+a-

16-16a+5a2

4-a

=

10

3

，
方程两边同乘3（4-a），整理得9a²-29a+20=0，
解得a₁=1，a₂=

20

9

（不合题意舍去），
当a=1时，光线的周长为：BD+DE+EF=

4+9

+

1+ 4 9

+

4+ 16 9

=

13

+

13

3

+

2 13

3

=2

13

．
综上可知，若S=

10

3

，光线在矩形OABC内的周长为

2 61

3

或2

13

．

点评：本题考查了矩形的性质，物理学中光的反射定律：反射角等于入射角，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．