Question

⑴ 如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；

⑵如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；

⑶如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明．

 

附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．

Answer 1

⑴ 如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；

⑵如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；

M

⑶如图3，若若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明．

 

⑴略证：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N

证△GNH≌△FME

∴EF=GH                   

⑵略证：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N

证△GNH≌△FME

∴EF=GH                

⑶略证：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N

证△GNH∽△FME

∴          

附加题：

已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF

略证：如图，过点F作FM⊥AD于M，

过点G作GN⊥CD于N

证△GNH∽△FME

∴

即GH=mEF．