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    （2013•朝阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴正半轴上，OB在y轴负半轴上，且OA=
    		3
    ，OB=1，以点B为顶点的抛物线经过点A．
    （1）求出该抛物线的解析式．
    （2）第二象限内的点M，是经过原点且平分Rt△AOB面积的直线上一点．若OM=2，请判断点M是否在（1）中的抛物线上？并说明理由．
    （3）点P是经过点B且与坐标轴不平行的直线l上一点．请你探究：当直线l绕点B任意旋转（不与坐标轴平行或重合）时，是否存在这样的直线l，在直线l上能找到点P，使△PAB与Rt△AOB相似（相似比不为1）？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，说明理由．
    分析：（1）依题意得到A与B的坐标，根据B为抛物线的顶点，设出抛物线的解析式，将A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
    （2）点M不在抛物线上，理由为：设抛物线与x轴的另一个交点为C，直线OM交AB于点D，由题意得到D为AB的中点，得到AD=OD=BD，得到∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，作MN垂直于OC，求出MN与ON的长，确定出M坐标，代入抛物线解析式检验即可得到结果；
    （3）存在，在Rt△AOB中，AO=
    		3
    ，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，分三种情况考虑：①当∠ABP=90°时，若∠AP1B=60°，则△ABP1∽△AOB，由相似得比例，确定出P1的坐标，再由B坐标确定出直线l解析式即可；②当∠ABP=60°时，若∠BAP5=90°，则△ABP5∽△OBA，由相似得比例求出P5坐标，同理确定出直线l解析式；③当∠ABP=30°且直线l在AB上方时，若∠P6AB=90°，则△ABP6∽△OAB，由相似得比例求出P6坐标，同理确定出直线l解析式，综上，得到直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似时的所有解析式．
    解答：解：（1）依题意得：A（
    		3
    ，0），B（0，-1），
    ∵B为抛物线的顶点，
    ∴设抛物线解析式为y=ax2-1，
    将A坐标代入得：3a-1=0，即a=
    1
    3
    ，
    则抛物线解析式为y=
    1
    3
    x2-1；

    （2）点M不在抛物线y=
    1
    3
    x2-1上，理由为：
    设抛物线与x轴的另一个交点为C，直线OM交AB于点D，作MN⊥OC于点N，
    由题意得：D为AB的中点，即OD=AD=BD，
    ∴∠MON=∠AOD=∠OAD=30°，
    在Rt△OMN中，OM=2，
    ∴MN=1，ON=
    		3
    ，即M（-
    		3
    ，1），
    ∵y=
    1
    3
    ×（-
    		3
    ）2-1=0≠1，
    ∴点M不在抛物线y=
    1
    3
    x2-1上；

    （3）存在，在Rt△AOB中，AO=
    		3
    ，BO=1，AB=2，∠ABO=60°，∠BAO=30°，
    分三种情况考虑：
    ①当∠ABP=90°时，若∠AP1B=60°，则△ABP1∽△AOB，
    ∴
    BP1
    BO
    =
    AB
    AO
    ，即BP1=
    1×2
    		3
    =
    2
    		3
    3
    ，
    ∴OP1=
    		3
    3
    ，即P1（-
    		3
    3
    ，0），[这里也利用求出P2（-
    		3
    ，2）或P3（
    		3
    3
    ，-2）或P4（
    		3
    ，-4）]，
    设直线l解析式为y=kx+b，将B与P1坐标代入得：
    b=-1
    -
    		3
    3
    k+b=0
    ，
    解得：
    k=-
    		3
    b=-1
    ，
    此时直线l解析式为y=-
    		3
    x-1；
    ②当∠ABP=60°时，若∠BAP5=90°，则△ABP5∽△OBA，
    ∴
    BP5
    AB
    =
    AB
    BO
    ，即BP5=
    2×2
    1
    =4，
    过P5作P5C⊥y轴于点G，在Rt△BGP5中，∠P5BG=60°，
    ∴P5G=2
    		3
    ，BG=2，即P5（2
    		3
    ，-3），
    同理求出直线l解析式为y=-
    		3
    3
    x-1；
    ③当∠ABP=30°且直线l在AB上方时，若∠P6AB=90°，则△ABP6∽△OAB，
    ∴
    BP6
    AB
    =
    AB
    OA
    ，即BP6=
    2×2
    		3
    =
    4
    		3
    3
    ，
    过P6作P6H⊥y轴于点H，在Rt△BP6H中，∠P6BH=30°，
    ∴P6H=
    2
    		3
    3
    ，BH=2，
    ∴P6（
    2
    		3
    3
    ，1），
    同理得到直线l解析式为y=
    		3
    x-1，
    综上，存在三条直线l：y=-
    		3
    x-1，y=-
    		3
    3
    x-1和y=
    		3
    x-1，在上述直线l上能找到点P，使Rt△PAB与Rt△AOB相似．
    点评：此题考查了二次函数的性质，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求抛物线解析式，相似三角形的判定与性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性较强的试题．
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    （9，6）
    （9，6）
    ．到达A2n后，要向
    右
    右
    方向跳
    （2n+1）
    （2n+1）
    个单位落到A2n+1．

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