Question

已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC，CD上的动点．
（1）如图①，设O是正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求证：BM=CN，
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为4cm，求四边形MONC的面积；
（3）如图②，若∠MAN=45°试说明△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．

Answer 1

解：（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，．AB=BC=DC=AD．
∵∠EOF=90°
∵∠BOM+∠MOC=90°，
∠NOC+∠MOC=90°
∴∠BOM=∠CON．
在△OBM和△OCN中，
，
△OBM≌△OCN（ASA）．
∴OM=ON；

（2）∵△OBM≌△OCN，
∴S_△OBM=S_△OCN．
∴S_△OBM+S_△MOC=S_△OCN+S_△MOC，
即S_△OBC=S_{四边形MONC}．
∵S_△OBC=4×4×=4，
∴S_{四边形MONC}=4；

（3）绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE，
∴△ABE≌△ADN，
∴∠4=∠1．AE=AN，BE=DN．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°．
∵∠4+∠3=∠MAE=45°．
∴∠MAE=∠2．
在△ANM和△AEM中，
，
∴△ANM≌△AEM（SAS），
∴MN=ME=MB+BE，
∴MN=DN+MB．
∵C_△MNC=MN+MC+CN，
∴C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．
∵C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC．
∴△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半．
分析：（1）由正方形的性质可以得出△BOM≌△CON，由全等三角形的性质就可以得出ON=OM；
（2）由全等可以得出S_△BOM=S_△CNF，就可以得出S_{四边形MONC}=S_△BOC，S_△BOC的面积就可以得出结论；
（3）绕点A顺时针旋转△ADN90°得到△ABE，得出△ABE≌△ADN，由全等三角形的性质可以得出△ANM≌△AEM，进而有MN=ME=MB+BE，分别表示出C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．C_{正方形ABCD}=AB+BC+CD+AD=4BC．从而可以得出结论．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，三角形的周长和正方形的周长的运用，全等三角形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，解答时证明三角形全等得出OM=ON是关键．