Question

对于正数x，规定f（x）=

x2

1+x2

．
（1）计算f（2）=

4

5

，f（

1

2

）=

1

5

，f（2）+f（

1

2

）=

1

，f（3）+f（

1

3

）=

1

，…；
（2）猜想f（x）+f(

1

x

)=

1

，请予以证明．
（3）现在你会计算f(

1

2012

)+f(

1

2011

)+f(

1

2010

)+…f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）的值了吗，写出你的计算过程．

Answer 1

分析：（1）把x的值代入规定的分式计算即可；
（2）由（1）猜想一般结论，把

1

x

代替规定算式中的x，进行分式加减运算即可；
（3）根据（2）得出的规律，分组计算．

解答：解：（1）由规定运算可知，f（2）=

22

1+22

=

4

5

，f（

1

2

）=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

，
则f（2）+f（

1

2

）=

4

5

+

1

5

=1，f（3）+f（

1

3

）=

32

1+32

+

( 1 3 )2

1+( 1 3 )2

=

9

10

+

1

10

=1，
故答案为：

4

5

，

1

5

，1，1；

（2）f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

x2+1

=1，
故答案为：1；

（3）f（

1

2012

）+f（

1

2011

）+f（

1

2010

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）
=f（1）+[f（

1

2

）+f（2）]+[f（

1

3

）+f（3）+]+…+[f（

1

2012

）+f（2012）]
=

1

2

+1+1+…+1=2011

1

2

．

点评：本题考查了分式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．