Question

已知直线y=-2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点及x轴上另一点C，且AC=2．
（1）当tan∠BCO＜tan∠BAO时，求抛物线的解析式．
（2）点D的坐标是（-2，0），在直线y=-2x+6上确定点P，使以点A、P、D为顶点的三角形与△ABO相似．
（3）在（1）、（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据tan∠BCO＜tan∠BAO，则B在A的右侧，求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作出△ADP，根据相似三角形的性质，求出AP的长，再根据等积法求出P点横纵坐标，即可求出P点坐标；
（3）根据△ADE的面积等于四边形APCE的面积，求出E的纵坐标，由于其小于顶点坐标，故E不存在．

解答：解：（1）∵直线y=-2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A、B点坐标分别为（3，0），（0，6），
∵tan∠BCO＜tan∠BAO，
∴C在A的右侧，
又∵AC=2，A点坐标为（3，0），
∴C点坐标为（5，0），
如图1：设函数解析式为y=a（x-3）（x-5）
将B（0，6）代入解析式得，6=a（0-3）（0-5），
整理得，a=

2

5

，函数解析式为y=

2

5

x²-

16

5

x+6．

（2）①如图2，当△DPA∽△BOA时，
∵AO=3，BO=6，
∴AB=

32+62

=

45

=3

5

，

AP

AO

=

AD

AB

，
即

AP

3

=

5

3 5

，
AP=

5

，
在△APD中，DP=

AD2-AP2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
设P点纵坐标为y，

1

2

×5y=

1

2

×

5

×2

5

，解得y=2，
把y=2代入y=-2x+6得，2=-2x+6，
x=2，
则P点坐标为（2，2）．
②如图3，△DPA∽△OBA时，

AO

AD

=

OB

PD

，即

3

5

=

6

PD

，
解得PD=10，
将PD=10代入y=-2x+6得，
-2x+6=10，解得x=-2，
则P点坐标为（-2，10）．
故点P坐标为（2，2）或（-2，10）．

（3）如图4：设E点坐标为|y|，
S_△ADE=

1

2

×5|y|=

5|y|

2

；
S_{四边形PAEC}=S_△PAC+S_△ACE=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|y|，
则

5|y|

2

=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|y|，
解得|y|=

4

3

，
即y=-

4

3

．
∵y=

2

5

x²-

16

5

x+6的顶点纵坐标为

4× 2 5 ×6-( 16 5 )2

4× 2 5

=-

2

5

，
∵-

4

3

＜-

2

5

，
∴不存在点E．
如图5：设E点坐标为|y|，
S_△ADE=

1

2

×5|y|=

5|y|

2

；
S_{四边形PAEC}=S_△PAC+S_△ACE=

1

2

×2×10+

1

2

×2×|y|，
则

5|y|

2

=

1

2

×2×10+

1

2

×2×|y|，
解得y=-

20

3

，
∵-

20

3

＜-

2

5

，
∴不存在点E．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质、二次函数的性质等知识，综合性很强，主要考查同学们的逻辑思维能力．