Question

如图，⊙C与x轴相切，点C的坐标为（1，-3）．点P在x轴上滑动，当半径为2的⊙P与⊙C外切时，点P的横坐标为

 

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Answer 1

考点：相切两圆的性质,坐标与图形性质

专题：计算题,压轴题,分类讨论

分析：分两种情况考虑：当圆P与圆C相切，且P点在原点左侧时，如图所示，连接CQ，CP，由圆C与x轴相切，利用切线的性质得到CQ垂直于x轴，由C的坐标得到CQ及OQ的长，同时由两圆外切，得到圆心距等于两半径相加，根据圆P与圆C的半径求出PC的长，在直角三角PQC中，由QC与PC的长，利用勾股定理求出PQ的长，再由PQ-OQ求出OP的长，由P在x轴负半轴上，写出此时P的坐标即可；当圆P与圆C外切，且P点在原点右侧时，如图所示，连接CD，CP，由圆C与x轴相切，利用切线的性质得到CD垂直于x轴，由C的坐标得到CD及OD的长，同时由两圆外切，得到圆心距等于两半径相加，根据圆P与圆C的半径求出PC的长，在直角三角形PCD中，由PC及CD的长，利用勾股定理求出PD的长，再由OQ+PQ求出OP的长，根据P点在x轴的正半轴上，写出此时P的坐标即可，综上，得到所有满足题意的P的坐标．

解答：解：当⊙P与⊙C外切，且P在原点左边时，如图所示：

连接CQ，CP，由⊙C与x轴相切，得到CQ⊥x轴，
∵C坐标为（1，-3），
∴CQ=3，即⊙C半径为3，OQ=1，
∵⊙P与⊙C外切，且⊙P半径为2，
∴PC=2+3=5，
在Rt△PQC中，根据勾股定理得：PC²=PQ²+CQ²，
即5²=PQ²+3²，解得：PQ=4，
∴OP=PQ-OQ=4-1=3，
∴P的坐标为（-3，0）；
当⊙P与⊙C外切，且P在原点右边时，如图所示：

连接OC，CD，由⊙C与x轴相切，得到CD⊥x轴，
∵C坐标为（1，-3），
∴CD=3，即⊙C半径为3，OD=1，
∵⊙P与⊙C外切，且⊙P半径为2，
∴PC=2+3=5，
在Rt△PDC中，根据勾股定理得：PC²=PD²+CD²，
即5²=PD²+3²，解得：PD=4，
∴OP=PD+OD=4+1=5，
∴P的坐标为（5，0），
综上，当⊙P与⊙C外切时，点P的横坐标为-3或5．
故答案为：-3或5

点评：此题考查了相切两圆的性质，切线的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．