Question

已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于F、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）如果BF比AE长2，BE=5，求sin∠FBE的值．

Answer 1

分析：（1）根据EF是对角线AC的垂直平分线，可以求证△AOE≌△COF，证明四边形的对角线互相平分，垂直，就可以证出．
（2）在直角△OFC中根据勾股定理就可以求出．

解答：解：（1）∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AC⊥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵∠AOE=∠COF，
∴在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF．
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形是AFCE菱形．（1分）

（2）连接AE交BF于O点

BF-AE=2 ( BF 2 )2+( AE 2 )2=25

，（2分）
∴

BF=8 AE=6

．（1分）
在Rt△BOE中，sin∠FBE=

OE

BE

=

3

5

．（2分）

点评：本题主要考查了菱形的证明方法，以及平行四边形的性质，中心对称性．