Question

如图，在直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，A（-1，2）．
（1）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足是C、D．求证：△ACO∽△ODB；
（2）求B点的坐标；
（3）设过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l，在直线l上求点P，使得S_△ABP=S_△ABO．

Answer 1

（1）证明：OB⊥OA，且OB=2OA，
∴∠1+∠2=90°，
∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴△ACO∽△ODB；

（2）解：分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别是C、D；
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，而∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO；
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC∽△OBD；
∵OB=2OA，
∴===
则OD=2AC=4，DB=2OA=2，
所以点B（4，2）

（3）解：∵A（-1，2），B（4，2）纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴L为直线x=，
当点P在直线l上且距AB距离为2时，△ABO与△ABP面积相等，P点的坐标为（，0）或（，4）．
分析：（1）根据OB⊥OA和OB=2OA得出∠A=∠2，求出∠ACO=∠ODB=90°，即可求出△ACO∽△ODB；
（2）此题可通过构建相似三角形来求解，分别过A、B作x轴的垂线，由于∠AOB=90°，则可证得△AOC∽△OBD，然后利用两个三角形的相似比（即OB=2OA），求出点B的坐标；
（3）根据A和B点的坐标得出它们的纵坐标相同，即可求出抛物线的对称轴L为直线x=，再分两种情况进行分析点P在直线l上距AB距离为2时△ABO与△ABP面积相等，即可求出P点的坐标．
点评：此题考查了二次函数的综合；解题的关键是根据抛物线的顶点公式和三角形的面积求法进行解答，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．