Question

设a，b，c都是正整数，关于x的方程ax²-bx+c=0有两个小于1的不等正数根α，β．
（1）求证：α，β中一个小于

1

2

，另一个大于

1

2

；
（2）求出a的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系得到α+β=

b

a

，α•β=

c

a

，则（α-

1

2

）（β-

1

2

）=

4c-2b+1

4a

，根据△的意义得b²-4ac＞0，即4a＜

b2

c

，又

c

a

＜1，则4a＞ac，根据b，c都是正整数，即可得到2（2c-b）为负偶数，可得（α-

1

2

）（β-

1

2

）=

4c-2b+1

4a

＜0，即可得到结论；
（2）由0＜α＜1，得到α（1-α）=-α²+α=-（α-

1

2

）²+

1

4

，同理β（1-β）＜

1

4

，则αβ（1-α）（1-β）＜

1

16

，利用根与系数的关系得

c

a

(1-

b

a

+

c

a

)＜

1

16

．即a²＞16c（a-b+c），当x=1时，ax²-bx+c=a-b+c＞0，a²是正整数的完全平方，a²≥25，猜测a的最小值是5．

解答：（1）证明：由根与系数的关系得：α+β=

b

a

，α•β=

c

a

，
∵（α-

1

2

）（β-

1

2

）
=αβ-

1

2

（α+β）+

1

4

=

4c-2b+1

4a

，
∵b²-4ac＞0，
∴4a＜

b2

c

，
又∵

c

a

＜1，则4a＞ac，
∴b＞2c，则2（2c-b）＜0，
∵b，c都是正整数，
∴2（2c-b）为负偶数，
∴4c-2b+1＜0，
∴（α-

1

2

）（β-

1

2

）=

4c-2b+1

4a

＜0，
∴α，β中一个小于

1

2

，另一个大于

1

2

；
（2）解：∵0＜α＜1，
∴0＜1-α＜1，且α≠

1

2

，
∴α（1-α）=-α²+α=-（α-

1

2

）²+

1

4

，
同理β（1-β）＜

1

4

，
∴αβ（1-α）（1-β）＜

1

16

，
∴根据韦达定理得，

c

a

(1-

b

a

+

c

a

)＜

1

16

．
∵a是正整数，
∴a²＞16c（a-b+c），
∵当x=1时，ax²-bx+c=a-b+c＞0，a²是正整数的完全平方，
∴a²≥25，猜测a的最小值是5．
事实上，当a=5时，发现方程5x²-5x+1=0的根x=

5± 5

10

确是小于1的正数，因此可以判断a的最小值等于5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了代数式的变形能力．