Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
①当t为______秒时，△PAD的周长最小？当t为______秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由抛物线的轴对称性及A（-1，0），可得B（-3，0）．

（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，
由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．
∵MN∥y轴，AB∥CD，
∴四边形ODMN是矩形．
∴DM=ON=2，
∴CD=2×2=4．
∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，
∴OD=3，即c=3．
∴把A（-1，0），B（-3，0）代入y=ax²+bx+3得，
解得．
∴y=x²+4x+3．
将y=x²+4x+3化为顶点式为y=（x+2）²-1，得E（-2，-1）．

（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4-或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．
故答案为：2；4或4-或4+．
②存在．
∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，
∴∠DPM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，
∴∠PDM=∠APN，
∵∠PMD=∠ANP，
∴△APN∽△PDM，
∴=，
∴=，
∴PN²-3PN+2=0，
∴PN=1或PN=2．
∴P（-2，1）或（-2，2）．
分析：（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标；
（3）①根据轴对称-最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值；
②先证明△APN∽△PDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点为：抛物线的轴对称性，梯形的面积计算，待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．