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    阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q，易说明△APD∽△CDQ．
    猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形______（直接填在横线上）；
    验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由．
    连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么？
    探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？

    解：（1）∵∠ABC=120°，
    ∴∠A=∠C=30°，
    ∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
    ∴∠APD=∠CDQ，
    ∴△APD∽△CDQ；

    （2）成立；如图所示，
    ∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
    ∴∠APD=∠CDQ，
    又∠A=∠C，
    ∴△APD∽△CDQ，
    ∵△APD∽△CDQ，
    ∴，
    ∵AD=CD，
    ∴，
    ∵∠A=∠C=∠PDQ，
    ∴△APD∽△DPQ；

    （3）可以，将两三角板改为一个更为一般的条件：AB=BC，∠EDF=∠A，D为AC中点．
    分析：（1）通过角的转化得出∠APD=∠CDQ，进而可得出△APD∽△CQD；
    （2）与延长线交于一点，但并不影响∠APD=∠CDQ，所以仍成立；
    （3）只要△ABC是等腰三角形，且∠EDF=∠A，结论就成立．
    点评：能够利用一些角的转化求解一些简单的相似问题．
    练习册系列答案
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    小聪在探索三角形中位线性质定理证明的过程中，得到了如下启示：一条线段经过另一线段的中点，则延长前者，并且长度相等，就能构造全等三角形．如图，D是△ABC的AC边的中点，E为AB上任一点，延长ED至F，使DF=DE，连接CF，则可得△CFD≌△AED，从而把△ABC剪拼成面积相等的四边形BCFE．你能从小聪的反思中得到启示吗？
    （1）如图1，已知△ABC，试着剪一刀，使得到的两块图形能拼成平行四边形．
    ①把剪切线和拼成的平行四边形画在图1上，并指出剪切线应符合的条件．
    ②思考并回答：要使上述剪拼得到的平行四边形成为矩形，△ABC的边或角应符合什么条件？菱形呢？正方形呢？（直接写出用符号表示的条件）
    （2）如图2，已知锐角△ABC，试着剪两刀，使得到的三块图形能拼成矩形，把剪切线和拼成的矩形画在图2上，并指出剪切线应符合的条件．

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    （直接填在横线上）；
    验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由．
    连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么？
    探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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    小聪在探索三角形中位线性质定理证明的过程中，得到了如下启示：一条线段经过另一线段的中点，则延长前者，并且长度相等，就能构造全等三角形．如图，D是△ABC的AC边的中点，E为AB上任一点，延长ED至F，使DF=DE，连接CF，则可得△CFD≌△AED，从而把△ABC剪拼成面积相等的四边形BCFE．你能从小聪的反思中得到启示吗？
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

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