Question

2．如图，四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．
（1）如果∠B+∠C=120°，则∠AED的度数=60°．（直接写出结果）
（2）根据（1）的结论，猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和等于360°求出∠BAD+∠CDA，再根据角平分线的定义求出∠EAD+∠EDA，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）根据四边形的内角和定义360°表示出∠BAD+∠CDA，再根据角平分线的定义求出∠EAD+∠EDA，然后根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．

解答 解：（1）在四边形ABCD中，∵∠B+∠C=120°，
∴∠BAD+∠CDA=360°-120°=240°，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CDA）=$\frac{1}{2}$×240°=120°，
在△AED中，∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA），
=180°-120°，
=60°；
故答案为：60°．

（2）∠AED=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）．
理由如下：在四边形ABCD中，
∵∠BAD+∠CDA+∠B+∠C=360°，
∴∠BAD+∠CDA=360°-（∠B+∠C），
又∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$[360°-（∠B+∠C）]，
在△AED中，又∵∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA），
=180°-$\frac{1}{2}$[360°-（∠B+∠C）]，
=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
故∠AED=$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）．

点评 本题考查了多边形内角与外角，角平分线的定义，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．