Question

如图，以下各图都是由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有1个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑦个图形中完整菱形的个数为（　　）

• A、83
• B、84
• C、85
• D、86

Answer 1

分析：写出前三个图形的菱形的个数，不难发现后一个图形比前一个图形多的菱形的个数是4的倍数，然后写出第n个图形的菱形的个数的通式，再把n=7代入进行计算即可得解．

解答：解：第①个图形中共有1个完整菱形，S₁=1，
第②个图形中共有5个完整菱形，S₂-S₁=5-1=4，
第③个图形中共有13个完整菱形，S₃-S₂=13-5=8=4×2，
第④个图形中共有25个完整菱形，S₄-S₃=25-13=12=4×3，
…，
依此类推，S_n-S_n-1=4（n-1），
所以，S₁+S₂-S₁+S₃-S₂+S₄-S₃+…+S_n-S_n-1=1+4+4×2+4×3+…+4（n-1），
所以，S_n=1+4[1+2+3+…+（n-1）]=1+4×

(1+n-1)(n-1)

2

=2n²-2n+1，
即S_n=2n²-2n+1，
当n=7时，S₇=2×7²-2×7+1=85．
故选：C．

点评：本题是对图形变化规律的考查，根据前几个图形的菱形的数目，发现后一个图形比前一个图形多的菱形的个数是4的倍数是解题的关键，难点在于利用求和公式求出第n个图形的菱形的数目的通项表达式．