Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PAC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．设CD的长为m，问当m取何值时，S_△PDE=S_{四边形ABMC}．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三点，
∴，
解得 ．
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1） ²+4，
故顶点M为（1，4）．

（2）如图1，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P．
设对称轴与x轴交于点H，
∵PH∥y轴，
∴△PHB∽△COB．
∴．
由题意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴PH=2．
∴P（1，2）．

（3）如图2，∵A（-1，0）B（3，0），C（0，3），M（1，4），
∴S_{四边形ABMC}=S_△AOC+S_梯形COEM+S_△MEB=×1×3+（3+4）×1+×4×2=9．
∵S_{四边形ABMC}=9S_△PDE，
∴S_△PDE=1．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°．
∵DE∥PC，
∴∠ODE=∠OED=45°．
∴OD=OE=3-m．
∵S_{四边形PDOE}=，
∴S_△PDE=S_{四边形PDOE}-S_△DOE=（0＜m＜3）．
∴．
解得，m₁=1，m₂=2．
分析：（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）利用点A、B关于抛物线的对称轴对称，连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P，再利用△PHB∽△CBO求出P点坐标即可；
（3）首先利用A（-1，0）B（3，0），C（0，3），M（1，4）求出S_{四边形ABMC}，进而得出S_△PDE=1，利用S_△PDE=S_{四边形PDOE}-S_△DOE求出m的值即可．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和四边形面积求法等知识，利用数形结合得出S_{四边形PDOE}是解题关键．