Question

12．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积：
（2）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC的面积和三角形ACP的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由：
（3）如图2，在直线AC上有一点Q（6，m），在x轴上有两动点M（c，0）、N（c+1，0），当四边形QCMN的周长最小时，求M、N的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据非负数的性质求出a，b的值，进而得出A，B两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，利用S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4可得到关于t的方程，再解方程求出t；当P在y轴负半轴上时，运用同样方法可计算出t；
（3）如图3，作出点C关于x轴的对称点D，作DE∥x轴且DE=1，连接QE交x轴于点N，过D作DM∥QE交x轴于M，此时QE就是CM+QN的最小值，由于MN、CQ是定值，所以此时四边形QCMN周长最小，由待定系数法求得直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，求出Q（6，4，），E（3，-2），于是得到直线QE的解析式为：y=2x-8，即可得到结论．

解答 解：（1）∵（a+2）²+$\sqrt{b-2}$=0，
∴a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×4×2=4；

（2）①当P在y轴正半轴上时，如图1，
设P（0，t），
过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4，
∴$\frac{4（t-2+t）}{2}$-t-（t-2）=4，解得t=3，
②当P在y轴负半轴上时，如图2，
∵S_△APC=S_梯形MNAC-S_△ANP-S_△CMP=4
∴$\frac{4（-t+2-t）}{2}$+t-（2-t）=4，解得t=-1，
∴P（0，-1）或（0，3）；

（3）如图3，作出点C关于x轴的对称点D，作DE∥x轴且DE=1，连接QE交x轴于点N，过D作DM∥QE交x轴于M，此时QE就是CM+QN的最小值，由于MN、CQ是定值，所以此时四边形QCMN周长最小，
∵A（-2，0），C（2，2），
∴直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴Q（6，4，），
∵C（2，2），
∴D（2，-2），∴E（3，-2），
设直线QE的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=6k+b}\\{-2=3k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直线QE的解析式为：y=2x-8，
把N（c+1，0）代入解得c=3，c+1=4，
∴M（3，0），N（4，0）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，平行线的判定与性质，也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．