Question

△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）试证明：△CEF为直角三角形．
（2）试证明：OE=OF．
（3）当点O运动到线段AC的中点时，四边形AECF是否是矩形？并证明．
（4）在（3）的条件下，当△ABC为直角三角形且∠ACB=90°，试猜想四边形AECF是什么四边形，并证明．

Answer 1

分析：（1）关键角平分线性质求出∠FCE=90°即可；
（2）关键平行线性质和角平分线性质求出∠OCE=∠OEC，推出OC=OE，同理求出OC=OF即可；
（3）关键平行四边形的判定推出是平行四边形，求出对角线相等即可；
（4）证出AE=CE即可．

解答：（1）证明：∵∠ACB的平分线CE，∠ACB的外角平分线CF，
∴∠ECF=

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×180°=90°，
∴△CEF是直角三角形．

（2）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴OC=OE，
同理OC=OF，
∴OE=OF．

（3）答：当点O运动到线段AC的中点时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OE=OF，OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OC=OE=OF=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

（4）答：四边形AECF是正方形．
证明：∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=45°，
∵∠E=90°，
∴∠EAC=45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形．

点评：本题主要考查对矩形、正方形、平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．