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【题目】如图1,点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.

(1)求证:ABQ≌△CAP;

(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.

(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,则求出它的度数.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、QMC=60°;证明过程见解析;(3)、QMC=120°;证明过程见解析.

【解析】

试题分析:(1)、根据等边三角形可得ABQ=CAP,AB=CA,根据速度相同可得AP=BQ,从而得出三角形全等;(2)、根据ABQ≌△CAP得出BAQ=ACP,然后根据QMC=BAQ+MAC得出答案;(3)、根据ABQ≌△CAP得出BAQ=ACP,然后根据QMC=BAQ+MAC得出答案.

试题解析:(1)、∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=CAP,AB=CA, 点P、Q运动速度相同,

AP=BQ, ABQ与CAP中,AB=AC,ABQ=CAP,AP=BQ ∴△ABQ≌△CAP(SAS);

(2)、点P、Q在运动的过程中,QMC不变.

理由:∵△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=ACP, ∵∠QMC=ACP+MAC, ∴∠QMC=BAQ+MAC=BAC=60°

(3)、点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时,QMC不变.

理由:∵△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=ACP, ∵∠QMC=BAQ+APM,

∴∠QMC=ACP+APM=180°-PAC=180°-60°=120°

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