【题目】如图1,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.
(1)求证:△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,∠QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠QMC变化吗?若变化,请说明理由;若不变,则求出它的度数.
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、∠QMC=60°;证明过程见解析;(3)、∠QMC=120°;证明过程见解析.
【解析】
试题分析:(1)、根据等边三角形可得∠ABQ=∠CAP,AB=CA,根据速度相同可得AP=BQ,从而得出三角形全等;(2)、根据△ABQ≌△CAP得出∠BAQ=∠ACP,然后根据∠QMC=∠BAQ+∠MAC得出答案;(3)、根据△ABQ≌△CAP得出∠BAQ=∠ACP,然后根据∠QMC=∠BAQ+∠MAC得出答案.
试题解析:(1)、∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA, 又∵点P、Q运动速度相同,
∴AP=BQ, 在△ABQ与△CAP中,AB=AC,∠ABQ=∠CAP,AP=BQ ∴△ABQ≌△CAP(SAS);
(2)、点P、Q在运动的过程中,∠QMC不变.
理由:∵△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=∠ACP, ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC, ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°
(3)、点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时,∠QMC不变.
理由:∵△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=∠ACP, ∵∠QMC=∠BAQ+∠APM,
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】2016年6月15日是父亲节,某商店老板统计了这四年父亲节当天剃须刀销售情况,以下是根据该商店剃须刀销售的相关数据所绘制统计图的一部分.
请根据图1、图2解答下列问题:
(1)近四年父亲节当天剃须刀销售总额一共是5.8万元,请将图1中的统计图补充完整;
(2)计算该店2015年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额.
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【题目】如图,已知△ABC、△DEF都是正三角形,
(1)写出图中与∠AGF必定相等的角.
(2)对于(1)中的几个角,请你选择一个角证明与∠AGF相等(本小题将按照证明难度的大小分别给分,难度越大给分越多).
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【题目】如图,AB的中垂线为CP交AB于点P,且AC=2CP.甲、乙两人想在AB上取D、E两点,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:甲作∠ACP、∠BCP的角平分线,分别交AB于D、E两点,则D、E即为所求;乙作AC、BC的中垂线,分别交AB于D、E两点,则D、E即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列正确的是( )
A.两人都正确 B.两人都错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
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