Question

15．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求证：
（1）$\frac{1}{A{C}^{2}}$+$\frac{1}{B{C}^{2}}$=$\frac{1}{C{D}^{2}}$；
（2）CD²=AD•BD．

Answer 1

分析 （1）把等式左边通分，再结合勾股定理和等积法可证得结论；
（2）可证△ADC∽△CDB，利用相似三角形的性质可证得结论．

解答 证明：
（1）∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∵CD⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴$\frac{AB}{AC•BC}$=$\frac{1}{CD}$，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}•B{C}^{2}}$=$\frac{1}{C{D}^{2}}$，
∴$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}}{A{C}^{2}•B{C}^{2}}$=$\frac{1}{C{D}^{2}}$，
∴$\frac{1}{A{C}^{2}}$+$\frac{1}{B{C}^{2}}$=$\frac{1}{C{D}^{2}}$；
（2）∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{DC}{BD}$，
∴CD²=AD•BD．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，注意勾股定理和等积法的应用．