Question

（2012•孝感模拟）已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0．
（1）当k满足什么条件时，此方程有实数根？
（2）若此方程的两个实数根x₁、x₂满足：2|x₁|=5-2|x₂|，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程的根的判别式就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）先利用根与系数的关系判断出x₁、x₂同号，再根据2|x₁|=5-2|x₂|，可以得到关于k的方程，然后解方程即可求出k的值．

解答：解：（1）依题意△=[-（2k-3）]²-4×（k²+1）≥0
解得：k≤

5

12

；

（2）由根与系数的关系可知x₁+x₂=2k-3，x₁x₂=k²+1，
∴x₁、x₂同号，
①当x₁＞0，x₂＞0时，由2|x₁|=5-2|x₂|得，
2（x₁+x₂）=5 即 2（2k-3）=5，
∴k=

11

4

∵k≤

5

12

∴k=

11

4

不合题意，（舍去），
②当x₁＜0，x₂＜0时，由2|x₁|=5-2|x₂|得
2（x₁+x₂）=-5 即 2（2k-3）=-5
∴k=

1

4

综合①、②可知 k=

1

4

．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；一元二次方程根与系数的关系：（1）x₁+x₂=-

b

a

，（2）x₁x₂=

c

a

．