Question

已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于O，AC=24，BD=10，点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．试求点E、F、G三点所确定的圆的周长．（结果保留π）

Answer 1

解：连接EF、FG、EG；
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC=12；
同理可得：FG∥BD，且FG=BD=5；
由于AC⊥BD，则EF⊥FG；
在Rt△EFG中，EF=12，FG=5，则EG=13；
由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，
∴点E、F、G三点所确定的圆的周长为：13π．
分析：由题意可知EF、FG分别为△ABC、△BCD的中位线，已知了AC、BD的值和位置关系，即可得到EF、FG的长，以及EF⊥FG；那么过E、F、G三点的圆的直径即为EG的长，由勾股定理易得EG的值，由此得解．
点评：此题考查了三角形中位线定理、勾股定理、直角三角形的外接圆以及圆周长的求法；能够根据已知条件得到△EFG是直角三角形是解答此题的关键．