精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
(2007•茂名)如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1.
(1)求证:△DEC∽△ADC;
(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予证明并求出它的面积;若不是,请说明理由.
(3)延长AB到H,使BH=OB.求证:CH是⊙O的切线.

【答案】分析:(1)C是劣弧的中点,根据等弧所对的圆周角相等就可以证明角相等,从而证明△DEC∽△ADC;
(2)首先利用(1)的结论求出DC,再利用勾股定理计算AB,根据计算结果可以判定四边形OBCD是菱形,然后判断四边形ABCD是梯形;
(3)利用(2)的结论OC⊥BD,OG=GC,再利用平行线的判定方法知道BG∥CH,这样根据切线的判定方法就可以判定了.
解答:(1)证明:∵C是劣弧的中点,
∴∠DAC=∠CDB.(1分)
∵∠ACD=∠ACD,
∴△DEC∽△ADC.(3分)

(2)解:连接OD,

∵CE=1,AC=AE+EC=2+1=3,
∴DC2=AC•EC=3×1=3.
∴DC=.(4分)
∵BC=DC=
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴AB2=AC2+CB2=32+(2=12.
∴AB=
∴OD=OB=BC=DC=
∴四边形OBCD是菱形.
∴DC∥AB,DC<AB.
∴四边形ABCD是梯形.(5分)
法一:
过C作CF垂直AB于F,连接OC,则OB=BC=OC=
∴∠OBC=60°.(6分)
∴sin60°=
CF=BC•sin60°=
∴S梯形ABCD=CF(AB+DC)=.(7分)
法二:(接上证得四边形ABCD是梯形)
∵DC∥AB,
∴AD=BC.
连接OC,则△AOD,△DOC和△OBC的边长均为的等边三角形.(6分)
∴△AOD≌△DOC≌△OBC.
∴S梯形ABCD=3•S△AOD=.(7分)

(3)证明:连接OC交BD于G.
由(2)得四边形OBCD是菱形.
∴OC⊥BD且OG=GC.(8分)
∵OB=BH,
∴BG∥CH.(9分)
∴∠OCH=∠OGB=90°.
∴CH是⊙O的切线.(10分)
点评:此题综合性比较强,把梯形放在圆中,解题利用了梯形的判定和面积公式,解直角三角形,圆的切线的判定等几个知识点.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:2007年全国中考数学试题汇编《图形的旋转》(03)(解析版) 题型:解答题

(2007•茂名)如图,已知正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,延长BC到点F使CF=AE.
(1)若把△ADE绕点D旋转一定的角度时,能否与△CDF重合?请说明理由.
(2)现把△DCF向左平移,使DC与AB重合,得△ABH,AH交ED于点G.求证:AH⊥ED,并求AG的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2007年全国中考数学试题汇编《图形的平移》(01)(解析版) 题型:解答题

(2007•茂名)如图,已知正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,延长BC到点F使CF=AE.
(1)若把△ADE绕点D旋转一定的角度时,能否与△CDF重合?请说明理由.
(2)现把△DCF向左平移,使DC与AB重合,得△ABH,AH交ED于点G.求证:AH⊥ED,并求AG的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2007年全国中考数学试题汇编《四边形》(10)(解析版) 题型:解答题

(2007•茂名)如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上四个点,C是劣弧的中点,AC交BD于点E,AE=2,EC=1.
(1)求证:△DEC∽△ADC;
(2)试探究四边形ABCD是否是梯形?若是,请你给予证明并求出它的面积;若不是,请说明理由.
(3)延长AB到H,使BH=OB.求证:CH是⊙O的切线.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2007年广东省茂名市中考数学试卷(解析版) 题型:选择题

(2007•茂名)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )

A.12≤a≤13
B.12≤a≤15
C.5≤a≤12
D.5≤a≤13

查看答案和解析>>

同步练习册答案