Question

12．如图，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，则t的值为8-2$\sqrt{7}$秒．

Answer 1

分析 首先判定ABFE为正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EM+BN；设EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n）-9=0，由此等式列方程求出时间t的值．

解答 解：∵E（5，0），
∴AE=AB=3，
∴四边形ABFE是正方形．
如答图2，

将△AME绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM′，其中AE与AB重合，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM+∠NAB=45°，
∴∠BAM′+∠NAB=45°，
∴∠MAN=∠M′AN．
连接MN．
在△MAN与△M′AN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM′}\\{∠MAN=∠M′AN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△MAN≌△M′AN（SAS），
∴MN=M′N=M′B+BN，
∴MN=EM+BN，
设EM=m，BN=n，则FM=3-m，FN=3-n，
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM²+FN²=MN²，即（3-m）²+（3-n）²=（m+n）²，
整理得：mn+3（m+n）-9=0   ①，
延长NR交x轴于点S，则m=EM=RS=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$（12-3t），
∵QS=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$（12-3t），AQ=4-t，
∴n=BN=AS=QS-AQ=$\frac{1}{2}$（12-3t）-（4-t）=2-$\frac{1}{2}$t，
∴m=3n，
代入①式，化简得：n²+4n-3=0，
解得n=-2+$\sqrt{7}$或n=-2-$\sqrt{7}$（舍去），
∴2-$\frac{1}{2}$t=-2+$\sqrt{7}$，
解得：t=8-2$\sqrt{7}$，
∴若∠MAN=45°，则t的值为（8-2$\sqrt{7}$）秒，
故答案为：8-2$\sqrt{7}$秒．

点评 本题主要考查了全等三角形判定及勾股定理，利用勾股定理求得线段之间的关系式，最后列出方程求解是解答此题的关键．