Question

如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，连结CD、BD，把△BCD沿BC折叠，
①求点D的对应点Dˊ的坐标；
②在抛物线上是否存在点P，使得△DDˊP是以DDˊ为一直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（-1，0）、C（0，4）两点的坐标代入y=ax²+bx-4a，根据待定系数法可得这个抛物线的解析式；
（2）①如图①，将点D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得到D点坐标，根据等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，根据折叠的性质进一步得到点D的对应点Dˊ的坐标；
②存在满足条件的点P．如图②，过D′作D′E∥BC交x轴于E，交抛物线于P，根据待定系数法可得直线D′E的解析式，联立方程组可得点P的坐标；过D作DF∥BC交y轴于F，交抛物线于P，根据待定系数法可得直线D′E的解析式，联立方程组可得点P的坐标．

解答：解：（1）把A（-1，0）、C（0，4）两点的坐标代入y=ax²+bx-4a，得

a-b+4a=0 -4a=4

，
解得

a=-1 b=3

．
所以这个抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．

（2）①如图①，将点D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得：-m²+3m+4=m+1，
化简得：m²-2m-3=0
解得：m₁=-1（舍去），m₂=3；
∴D（3，4），
∴CD∥x轴，
∴∠DCO=90°，
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=4，
即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；
把△BCD沿BC折叠，点D的对称点为点D′落在y轴上，
且CD=CD′=3，OD′=OC-CD′=1，
则点D′的坐标为（0，1）．        

②存在满足条件的点P．             
如图②，过D′作D′E∥BC交x轴于E，交抛物线于P．
∵DD′⊥BC
∴∠DD'P=90°，△OD'E为等腰直角三角形
则E（1，0）
设直线D′E的解析式为y=k₁x+b₁，依题意得

k1+b1=0 b1=1

，
解得

k2=-1 b2=1

∴直线D′E的解析式为y=-x+1．
由

y=-x+1 y=-x2+3x+4

得

x1=2- 7 y1=-1+ 7

，

x2=2+ 7 y2=-1- 7

，
过D作DF∥BC交y轴于F，交抛物线于P．
∵DD′⊥BC
∴∠D′DP=90°，△CDF为等腰直角三角形
则F（0，7）
设直线DF的解析式为y=k₂x+b₂，依题意得

3k2+b2=4 b2=7

，
解得

k2=-1 b2=7

．
∴直线DF的解析式为y=-x+7．
由

y=-x+7 y=-x2+3x+4

得

x3=1 y3=6

，

x4=3 y4=4

（不符合题意舍去）．
故在抛物线上存在点P，使得△DD′P是以DD′为一直角边的直角三角形，点P的坐标为(2-

7

，-1+

7

)或(2+

7

，-1-

7

)或（1，6）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定，折叠的性质，待定系数法求直线的解析式，方程思想，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．