Question

如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC，过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，则PE的长度为________．

Answer 1

分析：由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB与OC平行，得到一对内错角相等，等量代换可得出∠OAC=∠BAC，由OE垂直于AB，利用垂径定理得到AE=EB，且∠OAC=∠BAC=30°，在直角三角形APE中，设PE=x，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AP=2x，由AE的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为PE的长．
解答：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C，
∵AB∥OC，
∴∠CAB=∠C，
∴∠OAC=∠BAC，
∵OE⊥AB，∠AOE=30°，
∴AE=BE=AB=1，∠OAE=60°，
∴∠OAC=∠BAC=30°，
在Rt△APE中，设PE=x，则有AP=2x，
根据勾股定理得：AP²=PE²+AE²，即（2x）²=x²+1，
解得：x=或x=-（舍去），
则PE=．
故答案为：
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．