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    （2012•萝岗区一模）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=
    1
    2
    x2+bx+c的图象与一次函数y=
    1
    2
    x+1的图象交于B，C两点，与x轴交于D，E两点，且D点坐标为（1，0）．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）求线段BC的长及四边形BDEC的面积S；
    （3）在坐标轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）求出B的坐标，把B、D的坐标代入二次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；
    （2）求出直线与二次函数的交点坐标，求出C的坐标，求出E的坐标，过C作CN⊥x轴于N，根据图象分别求出梯形BOEC、△BOD、△CNE的面积，即可求出答案；
    （3）分为两种情况：①P在x轴上时，设P的坐标是（x，0），根据勾股定理求出PB2，PC2，BC2，根据PC2+PB2=BC2，求出x即可；②P在y轴上时，设P点的坐标是（0，y），根据PC2+PB2=BC2，得出方程（1-y）2+42+（3-y）2=20，求出y即可．
    解答：解：（1）∵把x=0代入y=
    1
    2
    x+1得：y=1，
    ∴B（0，1），
    ∵把B、D的坐标代入二次函数的解析式得：
    1=c
    0=
    1
    2
    +b+c
    ，
    解得：b=-
    3
    2
    ，c=1，
    ∴二次函数的解析式是y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x+1．

    （2）解方程组
    y=
    1
    2
    x+1
    y=
    1
    2
    x    2    -
    3
    2
    x+1
    得：
    x1=0
    y1=1
    ，
    x2=4
    y2=3
    ，
    ∵B（0，1），
    ∴C（4，3），
    把y=0代入y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x+1得：
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x+1=0，
    解得：x1=1，x2=2，
    即D（1，0），E（2，0），
    ∵由勾股定理得：BC=
    		42+(3-1)2
    =2
    		5
    ，
    过C作CN⊥x轴于N，
    则CN=3，NE=4-2=2，OD=OB=1，
    ∴四边形BDEC的面积是S=S梯形BONC-S△BOD-S△CNE=
    1
    2
    ×（1+3）×4-
    1
    2
    ×1×1-
    1
    2
    ×2×3=4
    1
    2
    ，
    答：线段BC的长是2
    		5
    ，四边形BDEC的面积S是4
    1
    2
    ．

    （3）存在P点，
    理由是：①P在x轴上时，设P的坐标是（x，0），
    ∵B（0，1），C（4，3），
    ∴由勾股定理得：PB2=x2+12，PC2=32+（4-x）2，BC2=42+（3-1）2=20，
    ∵P为直角顶点，
    ∴PC2+PB2=BC2，
    ∴x2+12+32+（4-x）2=20，
    解得：x1=1，x2=3，
    ∴P（1，0）或（3，0）；
    ②P在y轴上时，设P的坐标是（0，y），
    ∵B（0，1），C（4，3），
    ∴由勾股定理得：PB2=（1-y）2，PC2=42+（3-y）2，BC2=42+（3-1）2=20，
    ∵P为直角顶点，
    ∴PC2+PB2=BC2，
    ∴（1-y）2+42+（3-y）2=20，
    解得：y1=1，y2=3，
    ∵B（0，1），
    ∴y1=1（舍去），
    ∴P（0，3），
    即存在P点，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，P的坐标是（1，0）或（3，0）或（0，3）．
    点评：本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面积，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力，综合性比较强，有一定的难度．
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