Question

如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．
（1）求证：AF=FG；
（2）如图②，连接EG，当BG=3，DE=2时，求EG的长．

Answer 1

（1）证明：如图①，连接CF，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，
在△ABF和△CBF中，，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
∵FG⊥AE，
∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，
又∵∠BGF+∠CGF=180°，
∴∠BAF=∠CGF，
∴∠CGF=∠BCF，
∴CF=FG，
∴AF=FG；

（2）如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，则AH=AE，BH=DE，∠BAH=∠DAE，
∵AF=FG，FG⊥AE，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴∠EAG=45°，
∴∠HAG=∠BAG+∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAG=∠HAG，
在△AHG和△AEG中，，
∴△AHG≌△AEG（SAS），
∴HG=EG，
∵HG=BH+BG=DE+BG=2+3=5，
∴EG=5．
分析：（1）连接CF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，然后利用“边角边”证明△ABF和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CF，全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠BCF，再根据四边形的内角和定理与平角的定义求出∠BAF=∠CGF，然后求出∠CGF=∠BCF，根据等角对等边可得CF=FG，从而得证；
（2）把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，根据旋转的性质可得AH=AE，BH=DE，∠BAH=∠DAE，然后求出∠EAG=∠HAG，再利用“边角边”证明△AHG和△AEG全等，根据全等三角形对应边相等可得HG=EG，然后代入数据进行计算即可得解．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键．