Question

已知△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，以O为圆心的⊙O与AB相切于点C，⊙O与OA、OB分别交于点D、E．
（1）如图（1），若AB=6，求⊙O的半径长；
（2）如图（2），延长AO交⊙O于点F，求证：直线BF与⊙O相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OC，由AB与圆O相切，利用切线的性质得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB的中点，OC为顶角平分线，可得出AC的长及∠AOC的度数，在直角三角形AOC中，∠A=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出OA=2OC，利用勾股定理列出关于OC的方程，求出方程的解即可得到OC的长，即为半径的长；
（2）由∠AOB=120°，利用邻补角定义求出∠BOF=60°，可得出∠BOC=∠BOF，再由半径OC=OF，公共边OB，利用SAS可得出三角形BOC与三角形BOF全等，再由∠OCB=90°，利用全等三角形的对应角相等可得出∠BFO=90°，即BF垂直于AF，可得出BF为圆O的切线，得证．
解答：
解：（1）连接OC，
∵⊙O与AB相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，又AB=6，∠AOB=120°，
∴AC=AB=3，∠AOC=∠AOB=60°，
∴∠A=30°，
∴OA=2OC，
根据勾股定理得：OA²=OC²+AC²，即4OC²=OC²+9，
解得：OC=，
则⊙O的半径为；
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOF=∠BOC，
在△BOF和△BOC中，
∵，
∴△BOF≌△BOC（SAS），
∵∠OCB=90°，
∴∠OFB=∠OCB=90°，
∴BF与圆O相切．
点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，以及勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．