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    用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD．现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合．将三角板绕点A逆时针方向旋转．
    （1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a），
    ①猜想BE与CF的数量关系是______；
    ②证明你猜想的结论．
    （2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b），连接EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论．

    【答案】分析：（1）①BE=CF；②由于菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，而∠FAE=60°，得到∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，根据全等三角形的判定方法易得△BAE≌△CAF，即可得到BE=CF；
    （2）由于菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，根据等边三角形的性质得到AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，则∠ACE=120°，∠ADF=120°，得到∠ACE=∠ADF，
    而∠FAE=60°，得到∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，根据全等三角形的判定方法易得△ACE≌△ADF，则AE=AF，根据等边三角形的判定方法即可得到△AEF为等边三角形．
    解答：解：（1）①BE=CF；
    ②∵菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，
    ∴AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，
    而∠FAE=60°，
    ∴∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，
    在△BAE和△CAF中
    ∵
    ∴△BAE≌△CAF，
    ∴BE=CF；

    （2）△AEF为等边三角形．
    理由如下：连EF，
    ∵菱形ABCD由等边△ABC和△ACD拼成，
    ∴AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，
    ∴∠ACE=120°，∠ADF=120°，
    ∴∠ACE=∠ADF，
    而∠FAE=60°，
    ∴∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，
    在△ACE和△ADF中
    ∵
    ∴△ACE≌△ADF，
    ∴AE=AF，
    ∴△AEF为等边三角形．
    点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．
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    （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；
    （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
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    如图①，用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与四边形重叠，使60°角顶点与A重合，两边分别与AB，AC重合，现将三角形绕A点按逆时针方向旋转．
    （1）当三角尺两边与BC，CD相交于E，F时（如图②），请判断∠BAE与∠CAF是否相等，请说明理由．
    （2）在（1）的条件下，观察BE，CF的长度，你得到什么结论，请说明理由．
    （3）当三角尺的两边与BC，CD的延长线相交于E，F时（如图③），（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
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    6、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（　　）

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    用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角尺60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕A点按逆时针方向旋转．
    （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论．
    （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
    （3）在（1）的图形中证明四边形AECF的面积等于菱形ABCD的面积的一半．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    用两个全等的等边△ABC和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺有两边分别在AB、AC上，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转
    （1）如图1，当三角尺的两边与BC、CD分别相交于点E、F时，观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论．
    （2）如图2，当三角尺的两边与BC、CD的延长线分别交于E、F时，你在（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

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