Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，D是BC弧的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，
求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵D为弧BC中点，即=，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
则DE为圆O的切线．
分析：连接OD，由D为弧BC中点，得到一对弧相等，利用等弧对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AE平行，由AE垂直于DE，得到OD垂直于DE，即可得到DE为圆O的切线．
点评：此题考查了切线的性质，等弧对等角，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．