Question

20．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=$\sqrt{3}$时，n的值为（　　）

• A． 4-2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$-4
• C． -$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
• D． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根据已知条件得出△PDE的边长，再根据对称的性质可得出PF⊥DE，DF=EF，锐角三角函数的定义求出PF的长，由m=$\sqrt{3}$求出MF的长，再根据相似三角形的判定定理判断出△PFM∽△PON，利用相似三角形的性质即可得出结论．

解答 解：∵AB=3，△PDE是等边三角形，
∴PD=PE=DE=1，
以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
∵△PDE关于y轴对称，
∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴，
∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△PFM∽△PON，
∵m=$\sqrt{3}$，
∴FM=$\sqrt{3}$-$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{PF}{OP}$=$\frac{PM}{ON}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{3}{2}}{ON}$，
解得：ON=4-2$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM的长是解答此题的关键．