Question

如图（1），在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H。

（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图（2），动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位长度／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值。

Answer 1

解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E（如图（1））， ∵A（-3，4）， ∴AE=4，OE=3， ∴， ∵四边形ABCO为菱形， ∴OC=CB=BA=OA=5， ∴C（5，0）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 则有，∴， ∴直线AC的解析式为：； （2）由（1）得M点坐标为， ∴， 如图（1），当P点在AB边上运动时，由题意得OH=4， ∴， ∴=， ∴， 当P点在BC边上运动时，记为P1， ∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM， ∴△OMC≌△BMC， ∴OM=BM=，∠MOC=∠MBC=90°， ∴， ∴S=； （3）设OP与AC相交于点Q，连接OB交AC于点K， ∵∠AOC=∠ABC， ∴∠AOM=∠ABM， ∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH= 90°， ∴∠MPB=∠AOH， ∴∠MPB=∠MBH， 当P点在AB边上运动时，如图（2） ∵∠MPB=∠MBH， ∴PM=BM， ∵MH⊥PB， ∴PH=HB===2， ∴PA=AH-PH=1， ∴t=， ∵AB∥OC， ∴∠PAQ=∠OCQ ∴∠AQP=∠CQO， ∴A△QP∽△CQO， ∴， 在Rt△AEC中，， ∴，， 在Rt△OHB中，， ∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK， ∴， ∴， ∴， 当P点在BC边上运动时，如图（3） ∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH， ∴tan∠MPB=tan∠MBH， ∴，即， ∴， ∴， ∴PC=BC-BP=5-， 由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当时，∠MPB与∠BCO互为余角， 直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为， 当时，∠MPB与∠BCO互为余角， 直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1。