Question

把自然数依次排成以下数阵
1，2，4，7，…
3，5，8，…
6，9，…
10，…
如果规定横为行，纵为列，如8是排在2行3列
（1）第10行第5列排的是哪个数？
（2）第5行第10列排的是哪个数？

Answer 1

分析：观察不难发现，第m行的第一个数是1+2+3+…+m的和，又第m行的第二个数比第一个数大m，第3个数比第二个数大（m+1），然后整理出第m行第n列的数的表达式．
（1）第10行第5列的行数与列数代入进行计算即可得解；
（2）把第5行第10列的行数与列数代入进行计算即可得解．

解答：解：∵第1行的第一个数是1，
第2行的第一个数是3，3=1+2，
第3行的第一个数是6，6=1+2+3，
第4行的第一个数是10，10=1+2+3+4，
…，
第m行的第一个数是1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

，
以第2行为例，5比3大2，8比5大3，…，
所以，第m行的第2个数为

m(m+1)

2

+m，第3个为

m(m+1)

2

+m+（m+1），
…，
第m行第n列的数为

m(m+1)

2

+m+（m+1）+（m+2）+…+（m+n-2）
∵m+（m+1）+（m+2）+…+（m+n-2）=m（n-1）+

(n-2+1)(n-2)

2

=m（n-1）+

(n-1)(n-2)

2

，
∴第m行第n列的数为

m(m+1)

2

+m（n-1）+

(n-1)(n-2)

2

=

m(m+2n-1)

2

+

(n-1)(n-2)

2

，
（1）当m=10，n=5时，

m(m+2n-1)

2

+

(n-1)(n-2)

2

=

10(10+2×5-1)

2

+

(5-1)(5-2)

2

=95+6=101；
即第10行第5列排的是101；

（2）当m=5，n=10时，

m(m+2n-1)

2

+

(n-1)(n-2)

2

=

5(5+2×10-1)

2

+

(10-1)(10-2)

2

=60+36=96，
即第5行第10列排的是96．

点评：本题是对数字变化规律的考查，难度较大，根据排列规律，写出每一行的第一个数，然后求出第m行第n列的数的表达式是解题的关键．